Чему равна сумма внешних углов многоугольника

Сумма внешних углов многоугольника - это важная геометрическая характеристика, которая имеет постоянное значение для любого простого многоугольника (не имеющего самопересечений). Рассмотрим это свойство подробно.

Определение внешнего угла

Внешний угол многоугольника - это угол, смежный с внутренним углом многоугольника. Он образуется продолжением одной из сторон и соседней стороной фигуры.

• Каждая вершина многоугольника имеет два возможных внешних угла
• Обычно рассматривают только один внешний угол на вершину
• Внешний угол измеряется между продолжением стороны и соседней стороной

Теорема о сумме внешних углов

Доказательство теоремы

Рассмотрим доказательство для n-угольника:

1. В каждой вершине сумма внутреннего и внешнего углов равна 180°
2. Сумма всех таких пар для n вершин: n × 180°
3. Сумма внутренних углов: (n - 2) × 180°
4. Следовательно, сумма внешних углов: n × 180° - (n - 2) × 180° = 360°

Пример для различных фигур

Особые случаи

• Для правильного n-угольника все внешние углы равны между собой
• Величина каждого внешнего угла правильного многоугольника: 360°/n
• В звездчатых многоугольниках сумма может отличаться от 360°

Практическое значение

Знание суммы внешних углов применяется:

1. В архитектуре при проектировании конструкций
2. В компьютерной графике при обработке полигонов
3. В навигационных расчетах
4. При решении геометрических задач

Заключение

Сумма внешних углов любого простого многоугольника всегда равна 360°, независимо от количества его сторон. Это удивительное свойство демонстрирует фундаментальную закономерность в геометрии и находит многочисленные применения в различных областях науки и техники.